Motivation: Determinants in 2x2 Matrices#

左右顛倒，關係依舊。由此可證得二階反方陣公式，並將係數 $ad - b c$ 命名為「determinant」。

Defninition of Determinant#

一階 determinant 就是該元素自身。 二階 determinant 為 $ad -bc$。

Cofactor Expansion#

定義一個新的表記：$A_{ij}$ 表示將 $A$ 之第 $i$ row 跟第 $j$ column 移除所得之新矩陣。如此即可形式化定義三階以上的 determinant：

• $(-1)^{1+n}$ 說了一件事，正負相間是從 $1,1$ i.e. 左上角開始起算，從別的角度算的話，只要該邊大小為偶數就會算錯喔。

Cofactor: 以上 $A_{ij}$ 的值還可以表記為 $c_{ij}$，讀做「$(i,j)$ cofactor of $A$」。（CALLOUT: p203）

A Special Case#

[!Note] Theorem

$$M = \begin{bmatrix} A & B \\ O & I_{n} \end{bmatrix}$$

對於以上形式的矩陣，當 $A$ 為方陣，則 $\det M = \det A$ 成立。

再舉個 trivial case：

[!Quote] 類對角矩陣

$$\det \begin{bmatrix} C & O \\ O' & I_{n} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} I_{m} & O' \\ O & C \end{bmatrix} = \det C$$

Triangular Matrices#

[!Note] Theorem 對於上下三角矩陣 $M$，其 determinant 為其對角線項目的積。

Elementary Operations and Determinants#

[!Quote] 利用上三角矩陣計算 determinant 透過對 $R$ 進行一系列基礎列運算，可得上三角矩陣 $U$，而

$$\det R = (-1)^{r} \cdot u_{11} u_{22} \dots u_{nn}$$

$r$ 是行交換的次數。

Four Properties of Determinants#

1. 若且唯若：「可逆」與「determinant 不為零」
2. 對方陣乘法具有分配律
3. 轉置不改變
4. 反方陣變倒數

[!Quote] 利用分配律以及基礎運算矩陣對矩陣進行元素化 已知列運算可用矩陣來表示，又，列運算必能將矩陣化為 $I_{n}$，則

$$A = E_{k} E_{k-1} \dots E_{2}E_{1}$$

再根據 determinant 對方陣乘法的分配律，

$$\det A = (\det E_{k}) (\det E_{k - 1})\dots (\det E_{2})(\det E_{1})$$

• 同理，「轉置不改變」這個性質也可以透過這樣的關係式證得。